Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三條邊a，b，c滿足a²=bc，a邊所對的角為A．求角A的取值范圍及函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（I）化簡解析式可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

．由

2π

2ω

=

π

2

，可得ω的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

≥

1

2

，又0＜A≤

π

3

，可得-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，從而可求函數(shù)f（A）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

．
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2．…（3分）
函數(shù)f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

．…（5分）
（II）因為cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

． …（8分）
而A為三角形內角，所以0＜A≤

π

3

．…．（10分）
所以-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
即-1≤f（A）≤

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的圖象與性質，余弦定理的應用，屬于基本知識的考查．