Question

函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

）•sin2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在區(qū)間[-3，3]上，y=sin2x的零點(diǎn)為0，±

π

2

，當(dāng)x=-1時(shí)，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

為零，即可得出結(jié)論．

解答： 解：在區(qū)間[-3，3]上，y=sin2x的零點(diǎn)為0，±

π

2

，
令g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

，
則g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
當(dāng)x=-1時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x≠-1時(shí)，在區(qū)間[-3，3]上，g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=

1-(-x)2015

1+x

=

1+x2015

1+x

＞0恒成立，
∴函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x→+∞時(shí)，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→+∞，當(dāng)x→-∞時(shí)，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→-∞，故有一個(gè)零點(diǎn)，
故共有4個(gè)零點(diǎn)，
故答案為B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．