Question

20．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}}），x∈R$．
（1）求$f（{\frac{5π}{4}}）$的值；
（2）求$f（{\frac{2π}{3}}）f（{\frac{4π}{3}}）f（{\frac{5π}{3}}）$的值；
（2）設$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α+\frac{π}{2}}）=\frac{10}{13}，f（{3β+2π}）=\frac{6}{5}$，求$cos\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{5π}{4}$代入函數(shù)f（x）的解析式中，進行求解即可．
（2）利用誘導公式化簡函數(shù)的表達式，然后利用二倍角公式化簡求值即可．
（3）分別把x=3α+$\frac{π}{2}$和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化簡后利用誘導公式即可求出sinα和cosβ的值，
利用兩角和差的余弦公式以及倍角公式進行求解．

解答 解：（1）把x=$\frac{5π}{4}$代入函數(shù)解析式得：
f（$\frac{5π}{4}$）=2sin（$\frac{1}{3}$×$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
（2）$f（{\frac{2π}{3}}）f（{\frac{4π}{3}}）f（{\frac{5π}{3}}）$=8sin（$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{4π}{9}$-$\frac{π}{6}$）sin（$\frac{5π}{9}$-$\frac{π}{6}$）
=8sin$\frac{π}{18}$sin$\frac{5π}{18}$ sin$\frac{7π}{18}$=8cos$\frac{2π}{18}$cos$\frac{4π}{18}$cos$\frac{8π}{18}$
=8cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$
=$\frac{8sin\frac{π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$cos$\frac{π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$
=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$（4sin$\frac{2π}{9}$cos$\frac{2π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$）
=$\frac{1}{sin\frac{π}{9}}$（2sin$\frac{4π}{9}$cos$\frac{4π}{9}$）=$\frac{sin\frac{8π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$=$\frac{sin\frac{π}{9}}{sin\frac{π}{9}}$=1．
（3）由f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，代入得：
2sin[$\frac{1}{3}$（3α+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{6}$]=2sinα=$\frac{10}{13}$，
2sin[$\frac{1}{3}$（3β+2π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$
則sinα=$\frac{5}{13}$，cosβ=$\frac{3}{5}$，
又α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則cosα=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，$\frac{α+β}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．
∵$\frac{α+β}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cos$\frac{α+β}{2}$∈[0，1]，
則cos（α+β）=2cos²$\frac{α+β}{2}$-1=$\frac{16}{65}$．
則cos²$\frac{α+β}{2}$=$\frac{81}{130}$，
則cos$\frac{α+β}{2}$=$\frac{9}{\sqrt{130}}$=$\frac{9\sqrt{130}}{130}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的求解，靈活運用誘導公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值是解決本題的關(guān)鍵．