Question

9．已知非零向量$\overrightarrow a，\vec b$，滿足$|{\overrightarrow a}|=1$且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$．
（1）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，求向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角；
（2）在（1）的條件下，求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角的夾角為θ，由$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$可得|$\overrightarrow$|，由向量的夾角公式可得cosθ，由余弦值求出θ即可得答案，
（2）根據(jù)題意，由數(shù)量積的性質(zhì)可得$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²，代入數(shù)據(jù)計算即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角的夾角為θ，
$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow$|²=$\frac{1}{2}$，
又由$|{\overrightarrow a}|=1$，
則|$\overrightarrow$|²=$\frac{1}{2}$，即|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則θ=45°，
（2）根據(jù)題意，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=$\frac{1}{2}$，
則$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，熟練運用向量的運算律、運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．