Question

定義在非零實數集上的奇函數f（x）在（-∞，0）上是減函數，且f（-1）=0．
（1）求f（1）的值；
（2）求滿足f（x）＞0的x的集合；
（3）若g（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈[0，2π），求使f（g（x））＞0成立的x的集合．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性，單調性轉化為不等式來解決．
（2）分類討論，轉化不等式組．
（3）利用換元的方法轉化為

2

cos（x+

π

4

）＜-1或0＜

2

cos（x+

π

4

）＜1，再求解．

解答： 解：（1）∵定義在非零實數集上的奇函數f（x），且f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），即f（1）=-f（-1）=0
（2）∵奇函數f（x）在（-∞，0）上是減函數，∴奇函數f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，
∵f（x）＞0，∴

f(x)＞f(1) x＞0

或

f(x)＞f(-1) x＜0

 即0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0解集為（0，1）∪（-∞，-1），
（3）g（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈[0，2π），使f（g（x））＞0成立，
  只需

2

cos（x+

π

4

）＜-1，或0＜

2

cos（x+

π

4

）＜1
 即

π

2

＜x＜

3π

2

，或0＜x＜

π

4

或

5π

4

＜x＜

3π

2

  f（g（x））＞0成立的x的集合為：（

π

2

，

3π

2

）∪（0，

π

4

）∪（

5π

4

，

3π

2

）

點評：本題綜合考查了函數的性質，結合三角函數，不等式解決．