Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）對任意，，，都有恒成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）4

【解析】

(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案；

(2)設(shè)，對任意，都有恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)對，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

(1)由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，令得，

②當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

③當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（2）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，對任意，都有恒成立，

則對，恒成立，

設(shè)，

由（1）知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

又，則，

又，，∴，

又，所以，所以的最大值為4.