【題目】已知橢圓:的離心率為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),在直線上存在點(diǎn),使三角形為正三角形,求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由離心率得,再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合可解得,得橢圓方程;
(2)設(shè)直線方程為,與聯(lián)立方程組,消去,設(shè),,由韋達(dá)定理得.設(shè)線段的中點(diǎn)為,得直線方程,求出點(diǎn)坐標(biāo)(此結(jié)論對(duì)也適用),是等邊三角形等價(jià)于,由此可把用表示,設(shè)換元后,可利用基本不等式求得最值.
(1)設(shè),則,,所以,,
由點(diǎn)在橢圓上得,
,,所以橢圓的方程為.
(2)顯然,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,
與聯(lián)立方程組,消去,并化簡(jiǎn)得.
設(shè),,則,.
設(shè)線段的中點(diǎn)為,則直線:,令,
又,得點(diǎn)的坐標(biāo)為,顯然當(dāng)時(shí)也符合,
所以.
又因?yàn)?/span>,
由三角形為正三角形得,
所以兩邊平方可得
,得.
令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),所以的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,已知是直角三角形,側(cè)面是矩形,,,.
(1)證明:.
(2)是棱的中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,,點(diǎn)是與的交點(diǎn).
(1)求二面角的余弦值;
(2)若點(diǎn)在線段上且平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知如圖一,,,,分別為,的中點(diǎn),在上,且,為中點(diǎn),將沿折起,沿折起,使得,重合于一點(diǎn)(如圖二),設(shè)為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的大。
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【題目】某小學(xué)一班級(jí)1999級(jí)同學(xué)舉行20周年聚會(huì),該班共來了12位同學(xué),其中女同學(xué)6位,聚會(huì)過程中有一個(gè)游戲環(huán)節(jié),在游戲環(huán)節(jié)中,需要隨機(jī)從中選出2位同學(xué)代表,進(jìn)行男女搭配完成該項(xiàng)游戲,因此,每次選出的2位同學(xué)是一男一女,才算“有效選擇”;否則視為“無效選擇”,繼續(xù)下一次選擇,直到成為“有效選擇”為止.
(1)求第一次隨機(jī)選出的2位同學(xué)是“有效選擇”的概率;
(2)設(shè)第一次選出的2位同學(xué)代表中女同學(xué)人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某校為了有效地加強(qiáng)高中生自主管理能力,推出了一系列措施,其中自習(xí)課時(shí)間的自主管理作為重點(diǎn)項(xiàng)目,學(xué)校有關(guān)處室制定了“高中生自習(xí)課時(shí)間自主管理方案”.現(xiàn)準(zhǔn)備對(duì)該“方案”進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否啟用該“方案”,調(diào)查人員分別在各個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取若干學(xué)生對(duì)該“方案”進(jìn)行評(píng)分,并將評(píng)分分成,,,七組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
相關(guān)規(guī)則為①采用百分制評(píng)分,內(nèi)認(rèn)定為對(duì)該“方案”滿意,不低于80分認(rèn)定為對(duì)該“方案”非常滿意,60分以下認(rèn)定為對(duì)該“方案”不滿意;②學(xué)生對(duì)“方案”的滿意率不低于即可啟用該“方案”;③用樣本的頻率代替概率.
(1)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求被抽取的這位同學(xué)非常滿意該“方案”的概率,并根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生對(duì)該“方案”評(píng)分的中位數(shù).
(2)根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí),判斷該校是否啟用該“方案”,說明理由.
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【題目】過拋物線的焦點(diǎn)F任作兩條互相垂直的直線,,分別與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn),則的最小值為________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在點(diǎn)處的切線是否過定點(diǎn)?若過,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請(qǐng)說明理由.
(2)若有最大值,證明:.
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【題目】近年來,共享單車在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展,為人們的出行提供了便利,但也給城市的交通管理帶來了一些困難,為掌握共享單車在省的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市,并統(tǒng)計(jì)了共享單車的指標(biāo)和指標(biāo),數(shù)據(jù)如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
指標(biāo) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
指標(biāo) | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
(1)試求與間的相關(guān)系數(shù),并說明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若,則認(rèn)為與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,否則認(rèn)為沒有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系).
(2)建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)指標(biāo)為7時(shí),指標(biāo)的估計(jì)值.
(3)若某城市的共享單車指標(biāo)在區(qū)間的右側(cè),則認(rèn)為該城市共享單車數(shù)量過多,對(duì)城市的交通管理有較大的影響交通管理部門將進(jìn)行治理,直至指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)現(xiàn)已知省某城市共享單車的指標(biāo)為13,則該城市的交通管理部門是否需要進(jìn)行治理?試說明理由.
參考公式:回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,,相關(guān)系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,,.
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