Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐標(biāo)方程，它表示什么曲線(xiàn)？
（Ⅱ）求C₂上的點(diǎn)到C₁的最小距離．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，展開(kāi)為ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2

2

，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（II）由曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）可得x²+y²=1．求出圓心O到直線(xiàn)的距離d．則C₂上的點(diǎn)到C₁的最小距離=d-r．

解答： 解：（I）由曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，展開(kāi)為ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=2

2

，
化為x+y-4=0，表示直線(xiàn)．
（II）由曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）可得x²+y²=1．圓心O（0，0），半徑r=1．
∴圓心O到直線(xiàn)的距離d=

4

2

=2

2

．
∴C₂上的點(diǎn)到C₁的最小距離=d-r=2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程化為普通方程，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．