【題目】已知函數(shù)f(x)=eax(a≠0).
(1)當 時,令 (x>0),求函數(shù)g(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
(2)若對于一切x∈R,f(x)﹣x﹣1≥0恒成立,求a的取值集合;
(3)求證:

【答案】
(1)解:當a= 時,g(x)= ,則g'(x)=

﹣1>0,即x>2時,g'(x)>0;

﹣1<0且x≠0,即x<2或0<x<2時,g'(x)<0.

則g(x)的增區(qū)間為(2,+∞),減區(qū)間為(﹣∞,0),(0,2).

因為m>0,所以m+1>1,

①當m+1≤2,即0<m≤1時,g(x)在[m,m+1]上單調遞減,

所以g(x)min=g(m+1)=

②當m<2<m+1,即1<m<2時,g(x)在[m,2]上單調遞減,

在[2,m+1]上單調遞增,所以g(x)min=g(2)=

③當m≥2時,g(x)在[m,m+1]上單調遞增,所以g(x)min=g(m)=

綜上,g(x)min=


(2)解:設h(x)=f(x)﹣x﹣1=eax﹣x﹣1

若a<0,則對一切x>0,h(x)<0這與題設矛盾.

又a≠0,故a>0.而h'(x)=aeax﹣1,令h'(x)=0,得x=

當x< 時,h'(x)<0,h(x)單調遞減;

當x> 時,h'(x)>0,h(x)單調遞增.

故當x= 時,h(x)取最小值 ﹣1.

于是對一切x∈R,h(x)≥0恒成立,當且僅當 ﹣1≥0①

令φ(x)=t﹣tlnt﹣1,則φ'(x)=﹣lnt

當0<t<1時,φ'(t)>0,φ(t)單調遞增;

當t>1時,φ'(t)<0,φ(t)單調遞減,

故當t=1時,φ(t)取最大值φ(1)=0,

因此,當且僅當 =1,即a=1時,①式成立.

綜上所述,a的取值集合為{1}


(3)證明:由(2)可知,當x>0時,g(x)=

所以 (x>0),

可得

于是 +

=


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的表達式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,通過討論m的范圍求出函數(shù)的最小值即可;(2)設h(x)=f(x)﹣x﹣1=eax﹣x﹣1,求出a>0,解根據(jù)導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,得到當且僅當 ﹣1≥0①令φ(x)=t﹣tlnt﹣1,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可;(3)由g(x)= ,可得 ,根據(jù)不等式的性質證明即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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質量指標值分組

[75,85)

[85,95)

[95,105)

[105,115)

[115,125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8


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B.±
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