Question

【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2．
（1）求證：AB⊥PC；
（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，

AD=CD=2 ，BC=4 ，

∴AC=4，AB= = =4，

∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∴AB⊥平面PAC，又PC平面PAC，

∴AB⊥PC

（2）解：假設存在符合條件的點M，過點M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，

∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．

過點M作MG⊥AC于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，

∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．

若∠MGN=45°，則NG=MN，又AN= NG= MN，

∴MN=1，即M是線段PD的中點．

∴存在點M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°．

在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC= S△ABCMN= = ，

設點B到平面MAC的距離是h，則VB﹣MAC= ，

∵MG= MN= ，∴S△MAC= = =2 ，

∴ = ，解得h=2 ．

在△ABN中，AB=4，AN= ，∠BAN=135°，∴BN= = ，

∴BM= =3 ，

∴BM與平面MAC所成角的正弦值為 = ．

【解析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；（2）假設存在點M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計算BM，則 即為所求角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．