一條直線l過點(diǎn)P(1,4),且分別交x軸、y軸正半軸于點(diǎn)A、B.求:

(1)它在兩軸的截距之和OA+OB最小時(shí)的直線l的方程;

(2)它與兩坐標(biāo)軸所圍成的Rt△AOB的面積最小時(shí)直線l的方程.

解：設(shè)直線方程為+=1(a＞1).

∵過點(diǎn)P(1,4),則+=1.

(1)OA+OB=a+b=(a+b)(+)

=5++a

≥5+2=9.

當(dāng)且僅當(dāng)=a時(shí)取最小值.

此時(shí)得a=3,b=6.

∴直線方程為+=1,即2x+y-6=0.

(2)S△AOB=ab,

∵+=1≥2,

又∵ab≥16,

∴S△AOB=ab≥8.

當(dāng)且僅當(dāng)==即a=2,b=8時(shí),S△AOB最小,此時(shí)直線方程為+=1,即4x+y-8=0.

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（2）一條直線l過點(diǎn)，交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且A、B同在以點(diǎn)D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。

 

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