Question

6．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+a在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)f′（x），分析f′（x）的零點和區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]的位置關(guān)系，判斷f（x）的單調(diào)性為在[$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，若有兩個不同的零點，則$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{e}）≤0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即可解出a的取值范圍．

解答 解：f（x）=2lnx-x²+a，
f′（x）=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，故f′（x）=0，解得x=1，
當$\frac{1}{e}$＜x＜1，f′（x）＞0；
當1＜x＜e，f′（x）＜0，
故f（x）在x=1有唯一的極值點，f（1）=a-1，
f（$\frac{1}{e}$）=a-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
f（e）=a+2-e²，
則f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點的條件，
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1＞0}\\{f（\frac{1}{e}）=a-2-\frac{1}{{e}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故實數(shù)a的取值范圍（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．
故答案為：（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值的綜合應用，考查函數(shù)零點的判斷，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．