Question

18．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長等于圓C₂：x²+y²=8的直徑，左頂點到直線l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1的距離為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，點N為原點關(guān)于橢圓C₁的上頂點的對稱點．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點M（0，m）任作一條直線y=kx+m（k≠0）與橢圓C₁相交于A、B兩點，連接AN，BN，試問：是否存在實數(shù)m，使得$\overrightarrow{NM}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}$）成立，若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓C₂的半徑，可得a，求得左頂點，運用點到直線的距離公式，解得b=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m，使得$\overrightarrow{NM}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}$）成立．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和判別式大于0，由假設(shè)可得NM平分∠ANB，可得AN、BN的傾斜角互補，即有k_NA+k_NB=0，運用直線的斜率公式，化簡整理，解方程可得m=1，即可判斷存在．

解答 解：（1）圓C₂：x²+y²=8的半徑為$\sqrt{2}$，
由題意得$2a=4\sqrt{2}$，即$a=2\sqrt{2}$，
左頂點為$（-2\sqrt{2}，0）$，直線l的方程為$bx+2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}b=0$，
可得$\frac{{|{-2\sqrt{2}b-2\sqrt{2}b}|}}{{\sqrt{{b^2}+8}}}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，解得b=2，
則橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
可得${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
又△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，可得8k²-m²+4＞0，
假設(shè)存在實數(shù)m，使得$\overrightarrow{NM}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}$）成立．
由$\overrightarrow{NM}=λ（\frac{{\overrightarrow{NA}}}{{|{\overrightarrow{NA}}|}}+\frac{{\overrightarrow{NB}}}{{|{\overrightarrow{NB}}|}}）$，N（0，4），
即有NM平分∠ANB，可得AN、BN的傾斜角互補，即有k_NA+k_NB=0，
則${k_{NA}}+{k_{NB}}=\frac{{{y_1}-4}}{x_1}+\frac{{{y_2}-4}}{x_2}=\frac{{k{x_1}+m-4}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+m-4}}{x_2}=2k+\frac{m-4}{x_1}+\frac{m-4}{x_2}$
=$2k+\frac{{（m-4）（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=2k+\frac{（m-4）（-4km）}{{1+2{k^2}}}•\frac{{1+2{k^2}}}{{2{m^2}-8}}=2k+\frac{-4km（m-4）}{{2{m^2}-8}}=0$，
由k≠0，可得m=1，
由于滿足△＞0，故存在滿足條件的實數(shù)m=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意圓的直徑和點到直線的距離公式，考查存在性問題的解法，注意運用聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和判別式大于0，考查直線方程的運用和斜率公式，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．