Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（a+1）x-

1

x-2

．
（1）解關(guān)于a的不等式f（3）≥2-

a

a+1

；
（2）當(dāng)a≥-

1

2

時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）≥1．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（3）≥2-

a

a+1

化為3（a+1）-1≥2-

a

a+1

，解分式不等式即可；
（2）利用分離變量法，把不等式f（x）≥1化為ax≥

1

x-2

+1-x，討論x的值，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=（a+1）x-

1

x-2

，
∴不等式f（3）≥2-

a

a+1

可化為
3（a+1）-1≥2-

a

a+1

；
即3a+

a

a+1

≥0，
∴

a(3a+4)

a+1

≥0；
解得-

4

3

≤a＜-1，或a≥0，
∴該不等式的解集為[-

4

3

，-1）∪[0，+∞）；
（2）當(dāng)a≥-

1

2

時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥1為
（a+1）x-

1

x-2

≥1，
∴ax≥

1

x-2

+1-x=

-x2+3x-1

x-2

；
當(dāng)x＞0時(shí)，a≥

-x2+3x-1

x(x-2)

，
∴

-x2+3x-1

x(x-2)

≤-

1

2

，
解得2-

2

≤x＜2，或x≥2+

2

；
當(dāng)x=0時(shí)，

1

2

≥1不成立，舍去；
當(dāng)x＜0時(shí)，a≤

-x2+3x-1

x(x-2)

，
∴

-x2+3x-1

x(x-2)

≥-

1

2

，無(wú)解；
綜上，不等式的解集是{x|2-

2

≤x＜2，或x≥2+

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用分離變量法求不等式的解集的問(wèn)題，是中檔題．