Question

3．己知球O的球心到過球面上三點A、B、C的截面的距離等于球半徑的一半，且AB=3，tan∠ACB=-$\sqrt{3}$，則球O的體積為$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 根據已知求出△ABC的外接圓半徑r，利用勾股定理，求出球的半徑，進而可得答案．

解答 解：∵tan∠ACB=-$\sqrt{3}$，
∴cos∠ACB=$-\frac{1}{\sqrt{1+{tan}^{2}∠ACB}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠ACB=tan∠ACB•cos∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由AB=3，故△ABC的外接圓半徑r=$\frac{AB}{2sin∠ACB}$=$\sqrt{3}$，
高球的半徑為R，則${R}^{2}=（\frac{R}{2}）^{2}+{r}^{2}$，解得：R=2，
故球O的體積為：$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=$\frac{32}{3}π$，
故答案為：$\frac{32}{3}π$．

點評 本題考查球體積，考查學生的計算能力，確定球的半徑是關鍵．