Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．

（）求雙曲線的方程；

（）若直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，且線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為求出和,進(jìn)而根據(jù)求得,則雙曲線方程可得；（2）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式大于求得和的不等式關(guān)系，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理表示出和，根據(jù)，可知的斜率為，進(jìn)而求得和的關(guān)系，最后綜合可求得的范圍.

試題解析：（）設(shè)雙曲線方程為．

由已知得，，，

∴．

故雙曲線的方程為．

（）聯(lián)立，

整理得．

∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴，

可得．（）

設(shè)、，的中點(diǎn)為．

則，，．

由題意，，∴．

整理得．（）

將（）代入（），得，

∴或．

又，即．

∴的取值范圍是．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題. 用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.