Question

【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)，若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，圖象過點.

（1）求表達式和的單調(diào)增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間為， (2) 或.

【解析】分析：（1）由題意，求得 ，進而求得，，即可得到函數(shù)的解析式，求得其單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)，進而求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，要使得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，只需函數(shù)的圖象和直線有且只有一個零點，即可求得結(jié)論.

詳解：（1） ，

，

的最小正周期為，∴，

∵的圖象過點，∴.

∴，即，

令，，求得，，

故的單調(diào)增區(qū)間為，.

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得

的圖象；

再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

的圖象.

在區(qū)間上，，∴，

故在區(qū)間上的值域為，

若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，

由題意可得，函數(shù)的圖象和直線有且只有一個零點，并根據(jù)圖象可知，或.