Question

設數列{a_n}滿足a₁=1，a₂+a₄=6，且對任意n∈N^*，函數f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx滿足f′（

π

2

）=0，若c_n=

1

an•an+1

，則數列{c_n}的前n項和S_n為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：依題意，由f′（

π

2

）=0可得數列{a_n}為等差數列，從而可得其通項公式a_n=n，又c_n=

1

an•an+1

，利用裂項法即可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：∵f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx，
∴f′（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）-a_n+1•sinx-a_n+2cosx，
∴f′（

π

2

）=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1=0，
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴數列{a_n}為等差數列，又a₁=1，a₂+a₄=2a₁+4d=6，
∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
又c_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案為：

n

n+1

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系的確定與通項公式的應用，突出考查裂項法求和，通過f′（

π

2

）=0得到數列{a_n}為等差數列是關鍵，也是難點，屬于中檔題．