Question

15．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，PA=AB=BC=1，AD=2．
（1）若E為PD的中點，求AE與PC所成的角；
（2）PC與平面PAB所成的角．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AE與PC所成的角．
（2）由$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），利用向量法能求出PC與平面PAB所成的角．

解答 解：（1）∵四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，PA=AB=BC=1，AD=2
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，1），D（0，2，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），A（0，0，0），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1，
設(shè)AE與PC所成的角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴AE與PC所成的角為arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．（2）∵$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)PC與平面PAB所成的角為α，
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴α=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴PC與平面PAB所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線線角、線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．