Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，若f（0）=

1

8

，且對(duì)任意的x∈R，滿足f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過(guò)函數(shù)的遞推關(guān)系式，寫出f（2014），得到一個(gè)等比數(shù)列，然后求出和值即可．

解答： 解：∵f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，
∴f（2014）=f（2010）+10×3²⁰¹⁰
=f（2006）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶
=…
=f（2）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶+…+10×3²
=f（2）+10（3²⁰¹⁰+3²⁰⁰⁶+…+3²）
=f（0）+3+（3²+3⁶+…+3²⁰¹⁰）
=f（0）+3⁰+

90(32012-1)

34-1

=

1

8

+1+

32014-9

8

=

32014

8

．
故答案為：

32014

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，等比數(shù)列求和的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的綜合試題，考查計(jì)算能力．