Question

11．2015年高中學(xué)業(yè)水平考試之后，為了調(diào)查同學(xué)們的考試成績，隨機抽查了某高中的高二一班的10名同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語成績，已知其考試等級分為A，B，C，現(xiàn)在對他們的成績進行量化：A級記為2分，B級記為1分，C級記為0分，用（x，y，z）表示每位同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語的得分情況，再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評定該同學(xué)的得分等級．若w≥4，則得分等級為一級；若2≤w≤3．則得分等級為二級；若0≤w≤1，則得分等級為三級．得到如下結(jié)果：

人員編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（Ⅰ）在這10名同學(xué)中任取兩人，求這兩位同學(xué)英語得分相同的概率；
（Ⅱ）從得分等級是一級的同學(xué)中任取一人，其綜合指標(biāo)為a，從得分等級不是一級的同學(xué)中任取一人，其綜合指標(biāo)為b，記隨機變量X=a-b，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在這10名同學(xué)中任取兩人，基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{2}$，10名學(xué)生中A₁，A₃，A₆，A₈等4名學(xué)生的英語成績都是2分，另外6名學(xué)生的英語成績都是1分，再求出任取的兩名學(xué)生的英語成績相同的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩位同學(xué)英語得分相同的概率．
（Ⅱ）由已知條件求出X的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，從而能求出X的分布列數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）在這10名同學(xué)中任取兩人，基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{2}$=45，
∵A₁，A₃，A₆，A₈等4名學(xué)生的英語成績都是2分，
另外6名學(xué)生的英語成績都是1分，
∴任取的兩名學(xué)生的英語成績相同的基本事件個數(shù)m=${C}_{4}^{2}+{C}_{6}^{2}$=21，
∴這兩位同學(xué)英語得分相同的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．
（Ⅱ）得分等級是一級的同學(xué)有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，
其中A₁，A₂，A₅，A₉的綜合指標(biāo)為4，A₆，A₈的綜合指標(biāo)為5，A₃的綜合指標(biāo)為6，
得分等級為二級的同學(xué)有A₄，綜合指標(biāo)為1，A₇，A₁₀，綜合指標(biāo)都是3，
∴X的可能取值為1，2，3，4，5，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}×{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{{C}_{3}^{1}}_{\;}}$=$\frac{1}{21}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

X的數(shù)學(xué)期望EX=$1×\frac{8}{21}+2×\frac{4}{21}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{2}{21}+5×\frac{1}{21}$=$\frac{47}{21}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中這部分內(nèi)容都是必考知識點，是中檔題．