Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0與雙曲線C₂的公共點(diǎn)左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形，且|MF₁|=2．若橢圓C₁的離心率e∈[

3

8

，

4

9

]，則雙曲線C₂的離心率取值范圍是（　　）

• A、[

  5

  4

  ，

  5

  3

  ]
• B、[

  3

  2

  ，+∞）
• C、（1，4]
• D、[

  3

  2

  ，4]

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：

分析：由已知條件推導(dǎo)出|MF₂|=|F₁F₂|=2c，

2c

2+2c

∈[

3

8

，

4

9

]，由此能求出雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

解答： 解：∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂的公共點(diǎn)左右焦點(diǎn)，
△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形，且|MF₁|=2，
∴|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∵橢圓C₁的離心率e∈[

3

8

，

4

9

]，
∴當(dāng)e=

3

8

時(shí)，

2c

2+2c

=

3

8

，解得c=

3

5

，
雙曲線C₂的離心率e=

2× 3 5

2-2× 3 5

=

3

2

．
當(dāng)e=

4

9

時(shí)，

2c

2+2c

=

4

9

，解得c=

4

5

，
雙曲線C₂的離心率e=

2× 4 5

2-2× 4 5

=4．
∴雙曲線C₂的離心率取值范圍是[

3

2

，4]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線、橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．