（本小題滿分14分）
如圖，設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且最小值為．

（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點，點到的距離之積恒為1？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（1）（2）存在定點為或滿足要求

解析試題分析：（1）設(shè)，則有，         ……1分
                   ……2分
由最小值為得，                    ……3分
∴橢圓的方程為．                                         ……4分
（2）①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為            ……5分
把的方程代入橢圓方程得
∵直線與橢圓相切，∴，
化簡得                                                     ……7分
同理，                                                     ……8分
∴，若，則重合，不合題意，∴                  ……9分
設(shè)在軸上存在點，點到直線的距離之積為1，
則，即，                         ……10分
把代入并去絕對值整理，
或者
前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立
則，解得；                                             ……12分
②當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為和，                ……13分
定點到直線的距離之積為；
定點到直線的距離之積為；
綜上所述，滿足題意的定點為或                           ……14分
考點：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點在拋物線上，點是拋物線上的動點．

（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過點作拋物線的兩條切線，、分別為兩個切點，設(shè)點到直線的距離為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓過點，且它的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線交橢圓于兩點，若橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點為軸上的動點，點為軸上的動點，點為定點，且滿足，.
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得成立，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點，點F2在線段PF1的中垂線上。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角互補，求證：直線過定點，并求該定點的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知橢圓：的右焦點為F，離心率，橢圓C上的點到F的距離的最大值為，直線l過點F與橢圓C交于不同的兩點A、B.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 若，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓的右焦點，且，設(shè)短軸的一個端點為，原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本大題滿分14分）
已知△的兩個頂點的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（Ⅱ）當(dāng)時，過點的直線交曲線于兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為(不重合)．求證直線與軸的交點為定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

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