已知點為軸上的動點，點為軸上的動點，點為定點，且滿足，.
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得成立，請說明理由.

（Ⅰ）（Ⅱ）在軸上存在點，使得成立

解析試題分析：（Ⅰ）設，則由，得為的中點.        ……2分
∴, .
∴ , .
∴, 即.
∴動點的軌跡的方程.                                         ……5分
（Ⅱ）設直線的方程為，由  消去得.
設，, 則, .                      ……6分
假設存在點滿足條件，則, ,
∴

.                                         ……9分
∵,
∴關(guān)于的方程有解 .                             ……11分
∴假設成立，即在軸上存在點，使得成立.         ……12分
考點：本小題主要考查軌跡方程的求解和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運算量較大，主要考查學生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，已知點P，曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)）。以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。
（1）判斷點P與直線l的位置關(guān)系，說明理由；
（2）設直線l與直線C的兩個交點為A、B，求的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，直線L的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為
（1）求曲線C的普通方程；
（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線L的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的曲線是由部分拋物線和曲線“合成”的，直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，記點的橫坐標為，其中．

（1）當時，求的值和點的坐標；
（2）當實數(shù)取何值時，？并求出此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）設圓C：，此圓與拋物線有四個不同的交點，若在軸上方的兩交點分別為，，坐標原點為，的面積為。
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）求關(guān)于的函數(shù)的表達式及的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知橢圓的離心率，且短半軸為其左右焦點，是橢圓上動點．

（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）當時，求面積；
（Ⅲ）求取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，設點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且最小值為．

（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點，點到的距離之積恒為1？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分為12分）
已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，焦距為4，離心率為．
（I）求橢圓方程；
（II）設橢圓在y軸的正半軸上的焦點為M，又點A和點B在橢圓上，且M分有向線段所成的比為2，求線段AB所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線在軸上的截距為，交橢圓于A、B兩個不同點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

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