Question

12．在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，G、F分別為EO、EB中點，且AB=$\sqrt{2}$CE．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：CG⊥平面BDE；
（Ⅲ）若AB=1，求三棱錐F-ACE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OF，在正方形ABCD中，AC與BD交于點O，由三角形的中位線定理可得OF∥DE，然后利用線面平行的判定得答案；  
（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由線面垂直的判定得BD⊥平面ACE，進一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由線段間的長度關系得到CG⊥EO，再由線面垂直的判定得答案；
（Ⅲ）由AB=1，求得$EC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，進一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等積法求得三棱錐F-ACE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連結OF，
在正方形ABCD中，AC與BD交于點O
則O為BD的中點，
又∵F是EB中點，
∴OF是△BDE的中位線，
∴OF∥DE，
∵DE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴DE∥平面ACF；  
（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，
∴BD⊥平面ACE，
∵CG?平面ACE，
∴CG⊥BD，
在正方形ABCD中，AC與BD交于點O，且$AB=\sqrt{2}CE$，
∴$CO=\frac{1}{2}AC=CE$，
在△OCE中，G是EO中點，
∴CG⊥EO，
∵EO∩BD=E，
∴CG⊥平面BDE；
解：（Ⅲ）∵AB=1，
∴$EC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵F是EB中點，且EC⊥底面ABCD，
∴${V_{F-ACE}}=\frac{1}{2}{V_{B-ACE}}=\frac{1}{2}{V_{E-ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CE=\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求三棱錐的體積，是中檔題．