Question

設(shè)x，y∈R，

i

，

j

分別為直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸正半軸同方向的單位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線y=-

x2

12

+3的頂點(diǎn)為P，焦點(diǎn)為F．直線l過點(diǎn)P與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，從而動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為以兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，由此能求出點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．
（2）因拋物線方程為：x²=-12（y-3），故P（0，3），F(xiàn)（0，0）．設(shè)直線l方程為：y=kx+3，由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，得（4+3k²）x²+18kx-21=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線方程．

解答： 解：（1）∵向量

a

=x

i

+（y+2）

i

，

b

=x

i

+（y-2）

i

，|

a

|+|

b

|=8，
則

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，
由兩點(diǎn)間的距離公式得：
即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）的距離之和為定值8，
∵8＞4，∴點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程為以兩定點(diǎn)（0，-2）和（0，2）為焦點(diǎn)，
長軸長為8的橢圓，
∴點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程為

y2

16

+

x2

12

=1．
（2）因拋物線方程為：x²=-12（y-3），故P（0，3），F(xiàn)（0，0）．
當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，不合題意．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l方程為：y=kx+3，
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，得（4+3k²）x²+18kx-21=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△＞0恒成立，
x1+x2=-

18k2

3k2+4

，x1x2=-

21

3k2+4

，
又∵FA⊥FB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²=

5

16

，解得k=±

5

4

，
故所求的直線方程為：y=±

5

4

x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義和性質(zhì)的靈活運(yùn)用．