Question

已知m＞0，命題P：定義在R上的偶函數(shù)f（x）和奇函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=e^x，且2f（x）＜e^x+m對任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立；命題Q：函數(shù)y=log_mx在其定義域上為減函數(shù)，若“P或Q”為真命題，“P且Q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：將命題P化簡，于是得￢P，將命題Q化簡，于是得￢Q，由“P或Q”為直命題，“P且Q”為假命題知，“P∧（￢Q）”成立，或“（￢P）∧Q”成立，從而由交、并集原則得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)P為真命題時，由f（x）+g（x）=e^x，…①
得f（-x）+g（-x）=e^-x．
∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，∴f（x）-g（x）=e^-x，…②
①+②，得2f（x）=e^x+e^-x．
又2f（x）＜e^x+m對任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立，
∴e^x+e^-x＜e^x+m即m＞

1

ex

對任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立．
設(shè)h（x）=

1

ex

，則只需m＞[h（x）]_max，
顯然h（x）在[ln

1

2

，2]上為減函數(shù)，∴[h（x）]_max=h（ln

1

2

）=2，
∴m＞2，即命題P：m＞2，又m＞0，則命題￢P：0＜m≤2．
當(dāng)命題Q為真命題時，易知0＜m＜1，即命題Q：0＜m＜1，則命題￢Q：m≥1．
由題意知，“P或Q”為真命題，“P且Q”為假命題，則命題P、Q必為一真一假，
（1）當(dāng)“P∧（￢Q）”成立時，有{m|m＞2}∩{m|m≥1}={m|m＞2}．
（2）當(dāng)“（￢P）∧Q”成立時，有{m|0＜m≤2}∩{m|0＜m＜1}={m|0＜m＜1}．
故實數(shù)m的取值范圍是m＞2或0＜m＜1．

點評：1．本題涉及不等式恒成立問題，一般有如下規(guī)則：
（1）若f（x）在區(qū)間D內(nèi)有m≥f（x）恒成立，則m≥[f（x）]_max；
（2）若f（x）在區(qū)間D內(nèi)有m≤f（x）恒成立，則m≤f（x）]_min．
應(yīng)注意的是，當(dāng)f（x）的最值不存在或條件中不含等于號時，最終m不一定能取到等于號，所以具體問題要具體分析，不可照搬上述規(guī)則．
2．本題考查了復(fù)合命題真假的判斷，應(yīng)掌握其判斷方法：
（1）“或命題”的真假判斷：一真為真，兩假才假；
（2）“且命題”的真假判斷：一假為假，兩真才真；
（3）“非命題”的真假判斷：￢P與P一真一假．
理解邏輯聯(lián)結(jié)詞時，可與集合中的“交、并、補”集運算聯(lián)系起來，“或”相當(dāng)于集合中的“并”，“且”相當(dāng)于集合中的“交”，“非”相當(dāng)于集合中的“補”．