Question

10．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知l是過定點(diǎn)P（2，2）且傾斜角為α的直線，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+8sin²θ）=9．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到曲線C′，曲線C′與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)l是過定點(diǎn)P（2，2）且傾斜角為α的直線，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+8sin²θ）=9，化為ρ²+8ρ²sin²θ=9，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）曲線C的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得曲線C′：（x′）²+（y′）²=9．
曲線C′與直線l交于A，B兩點(diǎn)，把直線l的參數(shù)方程代入上述方程可得：t²+4t（cosα+sinα）-1=0．利用|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$及其三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：（1）∵l是過定點(diǎn)P（2，2）且傾斜角為α的直線，∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+8sin²θ）=9，化為ρ²+8ρ²sin²θ=9，∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²+8y²=9，即$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）曲線C的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，則$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得曲線C′：（x′）²+（y′）²=9．
曲線C′與直線l交于A，B兩點(diǎn)，把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入上述方程可得：t²+4t（cosα+sinα）-1=0．∴t₁+t₂=-4（cosα+sinα），t₁t₂=-1．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{16（cosα+sinα）^{2}+4}$=$2\sqrt{5+4sin2α}$，
∵sin2α∈[-1，1]．
∴|PA|+|PB|∈[2，6]．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、坐標(biāo)變換、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．