Question

15．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB，且BC₁⊥A₁C
（1）求證：A₁C⊥平面ABC₁
（2）若D是A₁C₁的中點(diǎn)，在線段BB₁上是否存在點(diǎn)E，使DE∥平面ABC₁？若存在，指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁．推導(dǎo)出AC₁⊥A₁C．BC₁⊥A₁C，由此能證明A₁C⊥平面ABC₁．
（2）當(dāng)點(diǎn)E是BB₁的中點(diǎn)時(shí)，取AA₁的中點(diǎn)F，推導(dǎo)出DF∥AC₁，EF∥AB，從而平面DEF∥平面ABC₁．由此得到DE∥平面ABC₁．

解答 證明：（1）連接AC₁．∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，AC=AA₁，
∴AC₁⊥A₁C．
又BC₁⊥A₁C，AC₁∩BC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面ABC₁．
解：（2）當(dāng)點(diǎn)E是BB₁的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面ABC₁．
證明如下：
取AA₁的中點(diǎn)F，連接DF，EF．
∵D、E、F分別為A₁C₁，BB₁，AA₁的中點(diǎn)，
∴DF∥AC₁，EF∥AB，
∴DF∩EF=F，AC₁∩AB=A，
∴平面DEF∥平面ABC₁．
∵DE?平面DEF，∴DE∥平面ABC₁．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．