Question

若直線3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦長為6，則

1

a

+

4

b

的最小值為（　　）

• A、4
• B、

  9

  2

• C、9
• D、5

Answer 1

考點：基本不等式,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：圓x²+y²+2x-6y+1=0化為（x+1）²+（y-3）²=9，可得C（-1，3），半徑r=3．而直線3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦長為6，等于圓的直徑，
可得直線經(jīng)過圓心，得到a+b=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：圓x²+y²+2x-6y+1=0化為（x+1）²+（y-3）²=9，可得C（-1，3），半徑r=3．
∵直線3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦長為6，等于圓的直徑，
∴直線經(jīng)過圓心，∴-3a-3b+6=0，
化為a+b=2．
∴

1

a

+

4

b

=

1

2

(a+b)(

1

a

+

4

b

)=

1

2

(5+

b

a

+

4a

b

)≥

1

2

(5+2

b a × 4a b

)=

9

2

，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=

4

3

時取等號．
∴

1

a

+

4

b

的最小值為

9

2

．
故選：B．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．