【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)中最大值為,最小值為,令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為

(1)若數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,求;

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,試問數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)舉例說明;

(3)若,求

【答案】(1);(2)見解析;(3),

【解析】

(1)由題意求得,即得,利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.

(2)若“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,設(shè)其公差為d′,bn+1bnd′,根據(jù)定義,Mn+1Mn,mn+1mn,至少有一個(gè)取等號(hào),當(dāng)d′>0時(shí),Mn+1Mn,an+1Mn+1Mnan,即數(shù)列{an}為增數(shù)列,則Mnanmna1,進(jìn)而得出.同理可得d′<0時(shí),“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”;當(dāng)d′=0時(shí),Mn+1Mn,且mn+1mn,故{an}為常數(shù)列,是等差數(shù)列.

(3)由題意可得,根據(jù)定義可以分析得到當(dāng)時(shí),,即得;同理可得時(shí),.,

所以當(dāng)時(shí), 得到 可得,求得

;當(dāng)時(shí), 得到,求得,分段寫出結(jié)果即可.

(1)∵數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴,∴,

,∴

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)其公差為

根據(jù),的定義,有以下結(jié)論:

,,且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號(hào),

①若,則必有,∴,即對(duì),,都有

,

,即為等差數(shù)列;

②當(dāng)時(shí),則必有,所以,即對(duì),,都有

,

所以,即為等差數(shù)列;

③當(dāng),

中必有一個(gè)為0,∴根據(jù)上式,一個(gè)為0,則另一個(gè)亦為0,

,∴為常數(shù)數(shù)列,所以為等差數(shù)列,

綜上,數(shù)列也一定是等差數(shù)列.

(3)∵

∴當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即

以下證明:,

當(dāng)時(shí),

,則,,所以,不合題意;

,則,,則,得:,與矛盾,不合題意;

,即

同理可證:,即,時(shí),

①當(dāng)時(shí), ,

②當(dāng)時(shí),,且

,則.若,則為常數(shù),與題意不符,∴

,.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌.古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,(如圖所示),表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位用橫式表示,以此類推.例如8455用算籌表示就是,則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為( )

A. B.

C. D.

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【題目】2019年春節(jié)檔有多部優(yōu)秀電影上映,其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評(píng)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)分情況,得到如下表格:

評(píng)價(jià)等級(jí)

★★

★★★

★★★★

★★★★★

分?jǐn)?shù)

020

2140

4160

6180

81100

人數(shù)

5

2

12

6

75

(1)根據(jù)以上評(píng)分情況,試估計(jì)觀眾對(duì)《流浪地球》的評(píng)價(jià)在四星以上(包括四星)的頻率;

(2)以表中各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率作為各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的概率,假設(shè)每個(gè)觀眾的評(píng)分結(jié)果相互獨(dú)立.

(i)若從全國所有觀眾中隨機(jī)選取3名,求恰有2名評(píng)價(jià)為五星1名評(píng)價(jià)為一星的概率;

(ii)若從全國所有觀眾中隨機(jī)選取16名,記評(píng)價(jià)為五星的人數(shù)為X,求X的方差.

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【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù):

x

4

5

7

8

y

2

3

5

6

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).

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【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)時(shí)取得極值,求實(shí)數(shù)的值;

2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的所有可能的值構(gòu)成的集合為______

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(Ⅰ)證明:無論點(diǎn)上如何移動(dòng),都有平面平面

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求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

若射線l與曲線,的交點(diǎn)分別為AB異于原點(diǎn),求的取值范圍.

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