Question

13．已知f（x）=x²-（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為[1，3]，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a、b的值；
（2）利用分類討論法求出b=3時不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（a+b）x+3a，
當(dāng)不等式f（x）≤0的解集為[1，3]時，
方程x²-（a+b）x+3a=0的兩根為1和3，
由根與系數(shù)的關(guān)系得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1+3}\\{3a=1×3}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3；
（2）當(dāng)b=3時，不等式f（x）＞0可化為
x²-（a+3）x+3a＞0，
即（x-a）（x-3）＞0；
∴當(dāng)a＞3時，原不等式的解集為：{x|x＜3或x＞a}；
當(dāng)a＜3時，原不等式的解集為：{x|x＜a或x＞3}；
當(dāng)a=3時，原不等式的解集為：{x|x≠3，x∈R}．

點(diǎn)評 本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法和應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．