Question

19．（1）求值：$\frac{\sqrt{1-sin20°}}{cos10°-sin170°}$
（2）求證：cosx+sinxtan$\frac{x}{2}$=1，（x≠π+2kπ，k∈z）

Answer 1

分析 （1）利用平方關(guān)系sin²x+cos²x=1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求得$\frac{\sqrt{1-sin20°}}{cos10°-sin170°}$的值；
（2）方法一：將所證的等式中的“切”化“弦”，通分后再逆用兩角差的余弦即可證得結(jié)論成立；
方法二：利用cosx═${cos}^{2}\frac{x}{2}$-${sin}^{2}\frac{x}{2}$，tan$\frac{x}{2}$=$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$，代入左端整理即可證得右端．

解答 （1）解：原式=$\frac{\sqrt{{sin}^{2}10°+{cos}^{2}10°-2sin10°cos10°}}{cos10°-sin170°}$ …（2分）
=$\frac{|sin10°-cos10°|}{cos10°-sin10°}$…（4分）

=$\frac{cos10°-sin10°}{cos10°-sin10°}$=1…（5分）
（2）證明：方法一∵左邊=cosx+sinx•$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$…（6分）
=$\frac{cosxcos\frac{x}{2}+sinxsin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$…（7分）
=$\frac{cos（x-\frac{x}{2}）}{cos\frac{x}{2}}$=1=右邊…（9分）
∴原式成立． …（10分）
方法二：∵左邊=${cos}^{2}\frac{x}{2}$-${sin}^{2}\frac{x}{2}$+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$•$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$  …（6分）
=${cos}^{2}\frac{x}{2}$+${sin}^{2}\frac{x}{2}$…（8分）
=1=右邊…（9分）
∴原式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．