Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx-x（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，$\frac{a}{4}$]，不等式k|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，求出f′（x），根據(jù)f′（x）的單調(diào)性求出f′（x）的最小值，得到關(guān)于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=2lnx-x，f（1）=-1，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1，f′（1）=1，
故切線方程是：y+1=x-1，
即x-y-2=0；
（2）顯然k＞0，
由題意得：$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，
由f（x）=alnx-x，則f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，由a＞0，
故f′（x）在（0，$\frac{a}{4}$]遞減，
f′（x）_min=f′（$\frac{a}{4}$）=3，
故$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≥3，即|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|≥3，
故$\frac{3}{k}$≤3，解得：k≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．