Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁=1，S₂=2，當(dāng)n≥2時，S_n+1-S_n-1=2ⁿ．
（1）求證：a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過S_n+1-S_n-1=2ⁿ與S_n+2-S_n=2ⁿ⁺¹作差即得結(jié)論；
（2）通過S_n+1-S_n-1=2ⁿ可知a_n+1+a_n=2ⁿ（n∈N^*），對其變形可知a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），進而數(shù)列{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是以$\frac{1}{3}$為首項、-1為公比的等比數(shù)列，進而計算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n+1-S_n-1=2ⁿ，
∴S_n+2-S_n=2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）解：∵S_n+1-S_n-1=2ⁿ，
∴a_n+1+a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），
又∵a₁-$\frac{1}{3}•$2=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是以$\frac{1}{3}$為首項、-1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•2ⁿ+$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1=$\frac{1}{3}$•[2ⁿ-（-1）ⁿ]．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．