Question

6．已知在△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C所對的三邊，G為△ABC的重心，且滿足4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求cosB的值；
（2）如果△ABC的周長為13，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為$\sqrt{35}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）重心為G，4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，可得4a=2b=3c，再結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．
（2）連接三角形內(nèi)心和三個頂點(diǎn)，即可求三角形面積．

解答 解：（1）∵重心為G，4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
則4a•$\overrightarrow{GA}$+2b•$\overrightarrow{GB}$=-3c•$\overrightarrow{GC}$=-3c（-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$），
即（4a-3c）$\overrightarrow{GA}$+（2b-3c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
又因∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共線，則4a-3c=0，2b-3c=0，
∴4a=2b=3c，
不妨設(shè)4a=2b=3c=1，則cosB=$\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{4}}{2×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}}$=$-\frac{11}{24}$．
（2）∵a+b+c=13，r=$\sqrt{35}$
S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r=$\frac{1}{2}×13×\sqrt{35}$=$\frac{13\sqrt{35}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及重心的性質(zhì)，同時考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．