Question

4．已知直線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)取AB的中點(diǎn)M在第一象限，并且在拋物線y²=4x上，M到拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則直線l的斜率為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)與拋物線的關(guān)系求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式．

解答 解：由已知設(shè)M（a，b），
拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
∵M(jìn)到拋物線焦點(diǎn)（1，0）的距離為2，
∴a+1=2，即a=1，此時(shí)b²=4，則b=2，即M（1，2）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}$=1，
兩式相減可得，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{12}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
M為AB的中點(diǎn)，即有x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
可得直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{12（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{12×2}{4×4}$=$\frac{3}{2}$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的中點(diǎn)弦所在直線方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，注意檢驗(yàn)直線的方程的存在性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．