Question

數列{a_n}滿足a₁=3，且2，

an+1+an+1

，n+3成等比數列．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄以及數列{a_n}的通項公式a_n（要求寫出推導過程）；
（Ⅱ）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意可得a_n+1+a_n+1=2（n+3），從而a_n+1=-a_n+2n+5，分別令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄，先猜想a_n，然后用數學歸納法可證明；
（Ⅱ）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-2（a₂+a₄+…+a_2n），由等差數列的求和公式可得；

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得a_n+1+a_n+1=2（n+3），于是a_n+1=-a_n+2n+5，
故a₂=4，a₃=5，a₄=6；
猜想a_n=n+2，
下面用數學歸納法證明：
①a₁=3，猜想成立；
②假設n=k（k∈N^*）時，a_k=k+2，則a_k+1=-a_k+2k+5=-（k+2）+2k+5=（k+1）+2，即n=k+1時猜想成立．
綜合①②，由數學歸納法原理知：a_n=n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-2（a₂+a₄+…+a_2n）
=-2•

n(a2+a2n)

2

=-n（4+2n+2）=-2n²-6n．

點評：該題考查由遞推式求數列通項、數列求和、數學歸納法等知識，考查學生的推理論證能力．