Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=

4

3

，（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{S_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

n

3an

，若T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求

lim

n→∞

T_n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）n≥2時，把a_n=S_n-S_n-1代入已知等式可整理為（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1，亦即

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，從而知數(shù)列{

Sn

4n-1

}是公比為1的等比數(shù)列，于是可求

Sn

4n-1

，進而可得S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，進而可得b_n，利用錯位相減法可求T_n，進而可求求

lim

n→∞

T_n的值；

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴n≥2時，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1），整理得（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1，
∴

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，
∴數(shù)列{

Sn

4n-1

}是公比為1的等比數(shù)列，
∴

Sn

4n-1

=

S1

3

=

4

9

，
∴Sn=

4

9

(4n-1)．（n∈N₊）
（Ⅱ）將Sn=

4

9

(4n-1)代入（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n．
得an=

4n

3

，bn=

n

3an

=

n

4n

，
T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n+1

，
兩式相減得，

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

-

1

3•4n

-

n

4n+1

，
∴Tn=

4

9

-

3n+4

9•4n

，

lim

n→∞

T_n=

4

9

．

點評：該題考查由遞推式求數(shù)列通項、數(shù)列求和及數(shù)列極限問題，錯位相減法是數(shù)列求和的重要方法，要熟練掌握．