Question

3．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處切線的傾斜角為$\frac{π}{4}$，對(duì)于任意t∈[1，2]函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（　�。�

• A． ?（-∞，-5）?
• B． ?（-$\frac{37}{3}$，-5）?
• C． （-9，+∞）??
• D． （-$\frac{37}{3}$，-9）?

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率求出a，利用函數(shù)的單調(diào)性，任意t∈[1，2]函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)由極值，然后求解函數(shù)的值域即可得到結(jié)果．

解答 解：由函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．可得f′（x）=$\frac{a}{x}$-a，
$f'（2）=-\frac{a}{2}=1$得a=-2，對(duì)于任意t∈[1，2]函數(shù)$g（x）={x^3}+{x^2}[{f'（x）+\frac{m}{2}}]$=x³+x²（-$\frac{2}{x}$+2+$\frac{m}{2}$）
在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，只需$g（x）={x^3}+（\frac{m}{2}+2）{x^2}-x$²在（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
故g'（x）=3x²+（m+4）x-2在（2，3）上有零點(diǎn)，即方程$m=-3x-4+\frac{2}{x}$在（2，3）上有解，
而$y=-3x-4+\frac{2}{x}$在（2，3）上單調(diào)遞減，故其值域?yàn)?（{-\frac{37}{3}，-9}）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．