Question

18、在三棱錐P-ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都為直角三角形，試指出△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先設：AP=a，BP=b，CP=c．再分三種情形討論：（1）當∠APB=∠APC∠=BPC=90°時，（2）當∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°時，（3）當∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°時，最后利用余弦定理或勾股定理即可進行判斷．

解答：證明：設：AP=a，BP=b，CP=c．
（1）當∠APB=∠APC∠=BPC=90°時，
△ABC為銳角三角形，因為：
AB²=a²+b²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²＞AC²，cosA＞0，則A為銳角，同理B，C也是銳角．
（2）當∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°時，
△ABC為直角三角形，因為：
AB²=b²-a²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²=AC²，cosA=0，則A為直角．
（3）當∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°時，
△ABC為鈍角三角形，因為：
AB²=b²+a²，AC²=a²-c²，BC²=c²-b²
AC²+BC²＜AB²，cosA＜0，則A為鈍角．

點評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構特征，以及分類討論思想和空間想象力，屬于中檔題．