Question

已知函數(shù)f（x）=x³+

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（1-a）x²-3ax+1，求不等式-1≤f（x）≤1對(duì)x∈[0，

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]恒成立，試求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，分a=-1，a＜-1和a＞-1三種情況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得不同情況下f （x）的單調(diào)區(qū)間，由x∈[0，

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]時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?br />[-1，1]列式求解a的值．

解答： 解：∵f （x）=x³+

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（1-a）x²-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3（1-a）x-3a，
當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f （x）的單調(diào)增區(qū)間為R，
f（0）=1，f(

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)=(

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)3+9+3

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+1=6

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+10，不滿足題意；
當(dāng)a＜-1時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞-a，
故f （x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（-a，+∞），f （x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，-a），
不等式-1≤f（x）≤1對(duì)x∈[0，

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]不恒成立；
當(dāng)a＞-1時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞1，
故f （x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a）和（1，+∞），f （x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a，1），
∵f（0）=1，
∴要使不等式-1≤f（x）≤1對(duì)x∈[0，

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]恒成立，
則

-a≤0 f(1)= 7 2 - 9 2 a≥-1 f( 3 )= 6 3 +11 2 - 9+6 3 2 a≤1

，解得：a=1．
綜上，滿足不等式-1≤f（x）≤1對(duì)x∈[0，

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]恒成立的實(shí)數(shù)a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，正確分類是解答該提的關(guān)鍵，是中高檔題．