Question

17．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB，D₁C的中點分別是M，N
（1）求證：MN⊥CD；
（2）求異面直線BD₁與MN所成角的余弦值；
（3）求三棱錐D₁-MNB的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐系，可得C、D₁，N，A，B，M的坐標(biāo)，可得向量MN，CD的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)論；
（2）求得$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{MN}$的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的夾角公式，結(jié)合向量的模的公式和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求值；
（3）由等積法可得，三棱錐D₁-MNB的體積即為三棱錐N-D₁MB的體積．連接BC₁，AD₁，可得N到平面ABC₁D₁的距離為C到平面ABC₁D₁的距離的一半．由三角形的面積公式和點到平面的距離求法，運(yùn)用三棱錐的體積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐系，可得C（0，2，0），D₁（0，0，2），N（0，1，1），
A（2，0，0），B（2，2，0），M（2，1，0），
$\overrightarrow{MN}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2，0），
$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{CD}$=-2×0+0×（-2）+1×0=0，
可得MN⊥CD；
（2）$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{MN}$=（-2，0，1），
即有$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{MN}$=-2×（-2）+（-2）×0+2×1=6，
|$\overrightarrow{B{D}_{1}}$|=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{4+0+1}$=$\sqrt{5}$，
可得cos＜$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即有異面直線BD₁與MN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（3）三棱錐D₁-MNB的體積即為三棱錐N-D₁MB的體積．
連接BC₁，AD₁，
可得N到平面ABC₁D₁的距離為C到平面ABC₁D₁的距離的一半．
由CB₁⊥BC₁，AB⊥CB₁，可得CB₁⊥平面ABC₁D₁，
即有C到平面ABC₁D₁的距離為$\sqrt{2}$，
N到平面ABC₁D₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又四邊形ABC₁D₁為矩形，可得△BMD₁的面積為$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
則三棱錐N-D₁MB的體積為$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
即有三棱錐D₁-MNB的體積為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查兩直線垂直的證明，注意運(yùn)用空間向量的數(shù)量積為0，考查異面直線所成角的求法，注意運(yùn)用空間向量的夾角公式，考查三棱錐的體積的求法，注意運(yùn)用等積法和點到平面的距離的求法，屬于中檔題．