Question

如圖1，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；
（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個(gè)法向量，找出平面ADB的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖，因?yàn)椤螩AB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．
以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，-2，0），C（0，0，2）．

，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
．∴，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)，．
設(shè)二面角C-AD-B的大小為θ，為平面ACD的一個(gè)法向量．
由有即
取x=1，解得，．∴=． 
取平面ADB的一個(gè)法向量=（0，0，1），
∴．
（3）設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設(shè)，∵，∴．
又∵，∴，解得λ=±1（舍去-1）．∴，則G為的中點(diǎn)．
因此，在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，且點(diǎn)G為的中點(diǎn)．
設(shè)直線AG與平面ACD所成角為α，∵，
根據(jù)（2）的計(jì)算為平面ACD的一個(gè)法向量，
∴．
因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，此題是中檔題．