【題目】已知f(x)＝，x∈(－2，2)．

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由；

(2) 求證：函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)；

(3) 若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】(1) 見解析：(2) 見解析：(3) a∈.

【解析】試題分析：（1）定義域 關于原點對稱，同時滿足f(x)=-f(-2)，所以是奇函數(shù)。（2）由定義法證明函數(shù)的單調性，按假設，作差，變形，判斷，下結論過程完成。（3）由奇函數(shù)，原不等式變形為f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，再由函數(shù)單調性及定義域可知，解不等式組可解。

試題解析：(1) 解：∵ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)．

(2) 證明：設x1，x2為區(qū)間(－2，2)上的任意兩個值，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－

＝，

因為－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，

所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)．

(3) 解：因為f(x)為奇函數(shù)，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，

因為函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)，

所以即

故a∈.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2016年1月1日起全國統(tǒng)一實施全面兩孩政策．為了解適齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度，某市選取70后和80后作為調查對象，隨機調查了100位，得到數(shù)據(jù)如表：

生二胎

不生二胎

合計

70后

30

15

45

80后

45

10

55

合計

75

25

100


（1）以這100個人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率估計概率，若從該市70后公民中隨機抽取3位，記其中生二胎的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
（2）根據(jù)調查數(shù)據(jù)，是否有90%以上的把握認為“生二胎與年齡有關”，并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2＞k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

（參考公式： ，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PEC

（2）求證：平面PCD⊥平面PEC；

（3）求三棱錐C-BEP的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某機器人的運動軌道是邊長為1米的正三角形ABC，開機后它從A點出發(fā)，沿軌道先逆時針運動再順時針運動，每運動6米改變一次運動方向（假設按此方式無限運動下去），運動過程中隨時記錄逆時針運動的總路程s1和順時針運動的總路程s2，x為該機器人的“運動狀態(tài)參數(shù)”，規(guī)定：逆時針運動時x＝s1，順時針運動時x＝-s2，機器人到A點的距離d與x滿足函數(shù)關系d＝f（x），現(xiàn)有如下結論：

①f（x）的值域為［0，1］；

②f（x）是以3為周期的函數(shù)；

③f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；

④f（x）在區(qū)間［－3，－2］上單調遞增.

其中正確的有_________（寫出所有正確結論的編號）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ex+1）（ax+2a﹣2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）﹣2＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.（0， ）
C.（﹣∞，1）
D.（﹣∞， ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列{an}的n項和為Sn ， 且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}為等差數(shù)列，則{an}的通項公式an= ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示幾何體ABC﹣A1B1C1中，A1、B1、C1在面ABC上的射影分別是線段AB、BC、AC的中點，面A1B1C1∥面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形．

（1）求證：△A1B1C1是等邊三角形；
（2）若面ACB1A1⊥面BA1B1 ， 求該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積；
（3）在（2）的條件下，求面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:的離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設動直線與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線， 的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

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