Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），拋物線E：x²=2py的焦點為M．
（Ⅰ）若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點，求直線l的方程；
（Ⅱ）過點F的直線l與軌跡C相交于不同于坐標原點O的兩點A，B，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)焦點坐標求出p，從而得出M點坐標，對直線l有無斜率進行討論，分兩種情況求出l方程；
（II）直線l有無斜率進行討論，分兩種情況得出面積關于l的斜率k的函數(shù)，從而得出面積的最小值．

解答 解：（I）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），∴p=2．
∴拋物線E的焦點為M（0，1）．
當直線l無斜率時，直線l的方程為x=0，顯然直線l與拋物線C只有一個交點（0，0），符合題意．
當直線l有斜率時，設直線l的方程為：y=kx+1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²+（2k-4）x+1=0，
∵直線l與拋物線C有且只有一個交點，
∴△=（2k-4）²-4k²=0，解得k=1．
∴直線l的方程為y=x+1．
綜上，直線l的方程為x=0或y=x+1．
（II）當直線l無斜率時，直線l的方程為x=1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得A（1，-2），B（1，2）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×AB$=2．
當直線l有斜率時，設直線l方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得：y²-$\frac{4}{k}y$-4=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+4}$＞2．
綜上，△AOB面積的最小值為2．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．