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已知函數f（x）=
mx2+2
3x-n
是奇函數，且f（2）=
5
3

（1）求實數m，n的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，-1）的單調性，并加以證明．
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），代入可求n，由f（2）=
5
3
可求m
（2）由（1）可求f（x），然后利用函數單調性的定義即可證明
解答：（1）解：因為f（x）奇函數．所以有f（-x）=-f（x）
∴
mx2+2
-3x-n
=-
mx2+2
3x-n

∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=
4m+2
6
=
5
3

∴m=2
∴m=2  n=0
（2）f（x）=
2x2+2
3x
=
2
3
(x+
1
x
)在（-∞，-1）上為增函數．
證明：設x1，x2∈（-∞，-1）且x1＜x2
則f（x1）-f（x2）=
2
3
(x1+
1
x1
-x2-
1
x2
)
=
2
3
[(x1-x2)+
1
x1
-
1
x2
)]
=
2(x1-x2)(x1x2-1) 
3x1x2

∵x1＜x2＜-1
∴x1x2＞1，x1-x2＜0
∴
2
3
(x1-x2)(
x1x2-1
x1x2
)＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在（-∞，-1）的單調增函數．
點評：本題主要考查了利用待定系數法求解函數解析式，函數單調性定義在函數單調性判斷（證明）中的應用，屬于函數知識的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=m•2x+t的圖象經過點A（1，1）、B（2，3）及C（n，Sn），Sn為數列{an}的前n項和，n∈N*．
（1）求Sn及an；
（2）若數列{cn}滿足cn=6nan-n，求數列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=m（x+
1
x
）的圖象與h（x）=（x+
1
x
）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+
a
4x
在（0，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
m
•
n
，其中
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=
3
，b+c=3，當ω最大時，f（A）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下兩題任選一題：（若兩題都作，按第一題評分）
（一）：在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
（ρ∈R）的距離
3
2
3
2
；
（二）：已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，當不等式f（x+2）≥0的解集為[-2，2]時，實數m的值為
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求Z=a+2b+3c的最小值．

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