Question

20．某種汽車購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)費(fèi)用共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年為0.6萬元，…依等差數(shù)列逐年遞增．
（1）設(shè)該車使用n年的總費(fèi)用（包括購(gòu)車費(fèi)）為f（n），試寫出f（n）的表達(dá)式；
（2）求這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即該車使用多少年？使得年平均費(fèi)用最少）？
（3）如果汽車采用分期付款的方式購(gòu)買，在購(gòu)買一個(gè)月后第一次付款，且在每月的同一天等額付款一次，在購(gòu)買后的第一年（24個(gè)月）將貨款全部付清，月利率為1%，按復(fù)利算，每月應(yīng)付款多少元給汽車銷售商（結(jié)果精確到元，參考數(shù)據(jù)1.01²⁴≈1.27）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可寫出f（n）的表達(dá)式；
（2）求出年平均費(fèi)用，利用基本不等式進(jìn)行求解即可；
（3）利用等比數(shù)列的求和公式建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，得：f（n）=14.4+（0.2+0.4+…+0.2n）+0.9n
=14.4+$\frac{0.2n（n+1）}{2}$+0.9n=0.1n²+n+14.4，（n∈N^•），
（2）設(shè)該車的年平均費(fèi)用為S萬元，則有：
S=$\frac{1}{n}$（0.1n²+n+14.4）=$\frac{n}{10}$+$\frac{14.4}{n}$+1≥2$\sqrt{\frac{n}{10}•\frac{14.4}{n}}+1$=2$\sqrt{1.44}+1$=3.4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{10}=\frac{14.4}{n}$，即：n=12時(shí)，等號(hào)成立．
故汽車使用12年報(bào)廢最合算．
（2）設(shè)每月付款a元，那么
a+a×1.01+a×1.01²+…+a×1.01²³=14.4×1.01²⁴，
即$\frac{a（1.0{1}^{24}-1）}{1.01-1}$=14.4×1.01²⁴，
即$\frac{a（1.27-1）}{0.01}=14.4×1.27$，
解得a≈6773．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．