Question

“過點（0，1）的直線l與雙曲線x2-

y2

3

=1有且僅有一個公共點”是“直線l的斜率k的值為±2”的（　�。�

• A、充分必要條件
• B、充分但不必要條件
• C、必要但不充分條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)過（0，1）的直線斜率為k，則對應(yīng)的直線方程為：y-1=kx，即y=kx+1，
代入雙曲線方程x2-

y2

3

=1得x²-

1

3

（kx+1）²=1，
整理得（3-k²）x²-2kx-4=0，
當(dāng)3-k²=0，即k=±

3

時，方程有一個公共點，此時直線與雙曲線的漸近線平行，
當(dāng)3-k²≠0，要使直線l與雙曲線x2-

y2

3

=1有且僅有一個公共點，
則△=4k²+16（3-k²）=0，
即k²=4，解得k=±2，
即過點（0，1）的直線l與雙曲線x2-

y2

3

=1有且僅有一個公共點”時，k=±2或k=±

3

，
∴“過點（0，1）的直線l與雙曲線x2-y2=

1

3

有且僅有一個公共點”是“直線l的斜率k的值為±2”的必要不充分條件，
故選：C．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．