Question

已知a，b為異面直線，則下列命題中正確的是（　�。�

• A、過a，b外一點(diǎn)P一定可以引一條與a，b都平行的直線
• B、過a，b外一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)與a，b都平行的平面
• C、過a一定可以作一個(gè)與b平行的平面
• D、過a一定可以作一個(gè)與b垂直的平面

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：A用反證法說明a，b為異面直線時(shí)，過a，b外一點(diǎn)P引一條直線l與a，b不能都平行；
B當(dāng)a、b為異面直線時(shí)，過兩直線外一點(diǎn)p作平面，該平面可能與a、b都平行，這樣的平面也可能不存在；
C當(dāng)a、b為異面直線時(shí)，過a作與b平行的平面有且只有一個(gè)；
D當(dāng)a、b為異面直線時(shí)，過a作一個(gè)平面可能與b垂直，也可能與b不垂直．

解答： 解：對(duì)于A，當(dāng)a，b為異面直線，假設(shè)過a，b外一點(diǎn)P引一條直線l與a，b都平行，
即l∥a，l∥b，∴a∥b，這與a、b是異面直線矛盾，∴假設(shè)不成立，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵a、b為異面直線，∴a、b 不平行，
∴過p做a的平行線有且只有一條，設(shè)為c，過p做b的平行線有且只有一條設(shè)為d，
則a、b的平行線只能組成一個(gè)平面，設(shè)為平面A；
①如果c恰好和b相交 或者 d與a相交，即當(dāng)a或者b正好在A平面內(nèi)時(shí)，過P且與a、b都平行的平面不存在；
②如果c不與b相交 或者 d不與a相交，過P且與a、b都平行的平面有且只有一個(gè)；∴B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵a、b為異面直線，∴a、b 不平行，在a上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線c∥b，c是唯一的，
又a∩c=P，∴由a、c確定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴C正確；
對(duì)于D，∵a、b為異面直線，但a與b不一定垂直，
∴過a作一個(gè)平面可能與b垂直，也可能與b平行，∴D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的位置關(guān)系的應(yīng)用問題．考查了異面直線的概念與應(yīng)用問題，也考查了空間中的平行與垂直的判斷問題，是綜合題目．